điều kiện để phương trình có nghiệm

Phương trình với nghiệm là gì? Điều khiếu nại nhằm phương trình với nghiệm như nào? Lý thuyết và cơ hội giải những dạng bài bác luyện về phương trình với nghiệm? Trong nội dung bài viết sau, hãy nằm trong DINHNGHIA.VN dò thám hiểu về chủ thể phương trình với nghiệm là gì rồi cũng như ĐK chung phương trình với nghiệm nhé!

Phương trình với nghiệm là gì?

Định nghĩa phương trình với nghiệm

  • Trong toán học tập, phương trình là 1 mệnh đề chứa chấp thay đổi với dạng:

\(f(x_{1}, x_{2},…) = g(x_{1}, x_{2},…)\)     (1)

Bạn đang xem: điều kiện để phương trình có nghiệm

\(h(x_{1}, x_{2},…) = f(x_{1}, x_{2},…) – g(x_{1}, x_{2},…)\)     (2)

\(h(x_{1}, x_{2},…) = 0\)     (3)

\(ax^{2} + bx + c = 0\)     (4)

Trong cơ \(x_{1}, x_{2}\),… được gọi là những thay đổi số của phương trình và từng mặt mũi của phương trình thì được gọi là 1 vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình (1) với \(f(x_1,x_2,…)\) là vế trái ngược, \(g(x_1,x_2,…)\) là vế nên.

Ở (4) tao với vô phương trình này a,b,c là những thông số và x,nó là những thay đổi.

  • Nghiệm của phương trình là cỗ \(x_{1}, x_{2},…\) ứng sao cho tới khi tao thay cho vô phương trình thì tao với cơ là 1 mệnh đề đích thị hoặc đơn giản và giản dị là làm công việc cho tới bọn chúng đều nhau.

Công thức tổng quát

  • Phương trình \(f(x) = 0\) với a đươcj gọi là nghiêm nghị của phương trình khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x = a\\ f(a) = 0 \end{matrix}\right.\), điều này khái niệm tương tự động với những phương trình khác ví như \(f(x,y,z,..) = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\\ nó = b\\ z = c\\ f(a,b,c) = 0 \end{matrix}\right.\)
  • Giải phương trình là dò thám luyện nghiệm của phương trình cơ. Với luyện nghiệm của phương trình là toàn bộ những nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \(S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\)

tìm hiểu điều kiện để phương trình có nghiệm và hình hình họa minh họa

Điều khiếu nại nhằm phương trình với nghiệm

Điều khiếu nại nhằm phương trình bậc 2 với nghiệm

  • Theo hệ thức Vi-ét nếu như phương trình bậc 2 \(ax^{2} + bx + c = 0 (a\neq 0)\) với nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thì \(S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\)

Do cơ ĐK nhằm một phương trình bậc 2:

  • Có 2 nghiệm dương là: \(\Delta \geq 0; P> 0; S> 0\)
  • Có 2 nghiệm âm là: \(\Delta \geq 0; P> 0; S< 0\)
  • Có 2 nghiệm trái ngược lốt là: \(\Delta \geq 0; P< 0\)

Điều khiếu nại nhằm hệ phương trình với nghiệm

  • Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax + by = c (d) (a^{2} + b^{2} \neq 0)\\ a’x + b’y = c’ (d’) (a’^{2} + b'{2} \neq 0) \end{matrix}\right.\)
  • Hệ phương trình với cùng một nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) hạn chế (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} (a’,b’\neq 0)\)
  • Hệ phương trình với vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) trùng (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} (a’,b’, c’\neq 0)\)
  • Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow (d)\parallel (d’) \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} (a’,b’,c’ \neq 0)\)

Điều khiếu nại nhằm phương trình lượng giác với nghiệm

  • Phương trình \(\sin x = m\)
  • Phương trình với nghiệm nếu như \(\left | m \right |\leq -1\). Khi cơ tao chọn 1 góc \(\alpha\) sao cho tới \(\sin \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
  • Phương trình \(\cos x = m\)
  • Phương trình với nghiệm nếu như \(\left | m \right |\leq -1\). Khi cơ tao chọn 1 góc \(\alpha\) sao cho tới \(\cos \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
  • Phương trình \(\tan x = m\)
  • Chọn góc \(\alpha\) sao cho tới \(\tan x = m\). Khi cơ phương trình luôn luôn với nghiệm với từng m.
  • Phương trình \(\csc x = m\)
  • Chọn góc \(\alpha\) sao cho tới \(\csc \alpha = m\). Khi cơ phương trình luôn luôn với nghiệm với từng m.

Các dạng toán ĐK phương trình với nghiệm

Dạng 1: Tìm ĐK khiến cho phương trình với nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \(x^{2} – 2(m+3)x + 4m-1 =0\) (1). Tìm độ quý hiếm của m nhằm phương trình với nhì nghiệm dương

Cách giải:

Phương trình (2) với nhì nghiệm dương

\(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+3)^{2} – (4m-1)\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2(m+3)>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\)

Dạng 2: Điều khiếu nại về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm của m nhằm phương trình sau với nghiệm \(x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\) (1)

Cách giải:

Đặt \(x^{2} = nó \geq 0\). Điều khiếu nại nhằm phương trình (2) với nghiệm là phương trình \(y^{2} + my + 2m – 4 = 0\) (3) với tối thiểu một nghiệm ko âm.

Ta có: \(\Delta = m^{2} – 4(2m-4) = (m-4)^{2} \geq 0\) với từng m. Khi cơ phương trình với 2 nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) vừa lòng P.. = 2m – 4; S = -m

Điều khiếu nại nhằm phương trình (1) với nhì nghiệm đều âm là:

\(\left\{\begin{matrix} P>0\\ S<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m-4>0\\ -m<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\)

Vậy ĐK nhằm phương trình (3) với tối thiểu một nghiệm ko âm là \(m\leq 2\)

\(\Rightarrow\) phương trình (2) với nghiệm khi \(m\leq 2\)

Xem thêm: Đề đầu đuôi là gì? Những hình thức đánh đề đầu đuôi phổ biến

Dạng 3: Tìm ĐK nhằm hệ phương trình với nghiệm vừa lòng đòi hỏi đề bài

Ví dụ 3: Tìm m vẹn toàn nhằm hệ phương trình sau với nghiệm độc nhất là nghiệm nguyên

\(\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Từ phương trình loại nhất tao với \(y = \frac{m+1-mx}{2}\)

Thay vô phương trình loại nhì tao được: \(2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\)

\(\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\)

\(x(m^{2} – 4) = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x(m-2)(m+2) = (m – 2)(m – 1)\)

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình với vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\) thì \(x = \frac{m-1}{m+2}\) thì phương trình với nghiệm độc nhất.

Thay quay về phương trình \(y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\)

\(\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ nó = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\)

Ta cần thiết dò thám \(m\in \mathbb{Z}\) sao cho tới \(x,y\in \mathbb{Z}\)

Nhìn vô công thức nghiệm tao có: \(\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Các độ quý hiếm này vừa lòng \(\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Trên đó là nội dung bài viết tổ hợp kỹ năng về phương trình với nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng tiếp tục hỗ trợ cho chính mình những kỹ năng hữu ích đáp ứng quy trình học hành. Chúc các bạn luôn luôn học tập tốt!

Xem thêm: 90 Phút TV - Cập Nhật Trực Tiếp Bóng Đá Hằng Ngày

Xem cụ thể qua chuyện bài bác giảng bên dưới đây:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

  • Tìm m nhằm hàm số với 3 vô cùng trị: Lý thuyết và Các dạng bài bác tập
  • Tìm m nhằm 3 đường thẳng liền mạch đồng quy – Chuyên đề phụ thân đường thẳng liền mạch đồng quy
  • Tổng thích hợp toàn cỗ những công thức toán 12 cần thiết đua trung học phổ thông quốc gia
5/5 - (1 bình chọn)